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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
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6. Pareciera que podemos integrar $2 \operatorname{sen}(x) \cos (x)$ de tres maneras distintas:
a) $\int 2 \operatorname{sen}(x) \cos (x) d x \underbrace{=}_{u=\operatorname{sen}(x)} \int 2 u d u=u^{2}+C_{1}=\operatorname{sen}^{2}(x)+C_{1}$
b) $\int 2 \operatorname{sen}(x) \cos (x) d x \underbrace{=}_{u=\cos (x)} \int-2 u d u=-u^{2}+C_{2}=-\cos ^{2}(x)+C_{2}$
c) $\int 2 \operatorname{sen}(x) \cos (x) d x=\int \operatorname{sen}(2 x) d x \underbrace{=}_{u=2 x} \int \frac{1}{2} \operatorname{sen}(u) d u=-\frac{1}{2} \cos (u)+C_{3}=-\frac{1}{2} \cos (2 x)+C_{3}$
¿Las tres maneras son correctas? Justificar la respuesta.
Respuesta
Las tres maneras son correctas y no hay ningun error en esos razonamientos. Una manera de chequear que cada una de esas integrales son correctas es, como hicimos en el Ejercicio 2, derivar el resultado que obtuvimos para ver si efectivamente recuperamos $2 \sin(x) \cos(x)$. Si hacemos eso en cada caso obtenemos:
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➡️ $(\sin^{2}(x)+C_{1})' = 2 \sin(x) \cos(x) $ ✔️
➡️ $(-\cos^{2}(x)+C_{2})' = -2 \cos(x) (-\sin(x)) = 2 \sin(x) \cos(x) $ ✔️
➡️ $(-\frac{1}{2} \cos (2 x)+C_{3})' = -\frac{1}{2} \cdot (-\sin(2x)) \cdot 2 = \sin(2x) = 2 \sin(x) \cos(x) $ ✔️
Por lo tanto, las tres formas de resolver esta integral son correctas :)
ExaComunidad
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Pool
24 de junio 14:41
Hola profe, consulta no entendi el razonamiento del ultimo, tipo el paso a paso. me lo podrias explicar?
Flor
PROFE
25 de junio 9:02
$\int 2 \operatorname{sen}(x) \cos (x) d x=\int \operatorname{sen}(2 x) d x \underbrace{=}_{u=2 x} \int \frac{1}{2} \operatorname{sen}(u) d u=-\frac{1}{2} \cos (u)+C_{3}=-\frac{1}{2} \cos (2 x)+C_{3}$
la clave está en que, antes de integrar, reescribe $2 \sin(x) \cos(x)$ usando la identidad del doble ángulo, que nos dice que:
$\sin(2x) = 2 \sin(x) \cos(x)$
Entonces, una vez que reescribis esto usando la identidad, ahí si integrás $\sin(2x)$ usando sustitución :)
En la justificación lo que hacemos es derivar el resultado para chequear que efectivamente nos da $2 \cos(x) \sin(x)$. Fijate que acá nos pasa al revés, primero obtenemos $\sin(2x)$ y eso lo volvemos a reescribir usando la identidad
Se ve mejor ahora?
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